#2 puedo intentarlo:
En matemáticas a un donut hueco se le llama toro. Si le haces un agujero al toro, puedes generar una métrica (i.e. distancia entre un punto y otro) llamada hiperbólica, donde las geodésicas son lo equivalente a nuestras líneas rectas (es decir la manera más rápida de ir de un punto a otro). Para poner un ejemplo sencillo, en una esfera (la Tierra) las geodésicas vienen generadas por los círculos máximos. En estas geometrías hay geodésicas que hacen cosas raras, como cruzarse a sí mismas, volver a encontrarse o no acabar nunca.
En las superficies de las que hablamos (los toros agujereados) hay geodésicas "simples" que son curvas cerradas y que no intersecan con sí mismas, es decir que no se cruzan (piensa en gomas de pollo xD). El problema abierto era saber cuantas geodésicas simples había de distancia L, y esto la Dra. Mirzakhani lo resolvió, juntándolo con un teorema de sistemas dinámicos (ecuaciones diferenciales ordinarias). Al resolver esto también resolvió un problema famoso de espacios cocientes, es un poco más teórico, encontrar "todas" las posibles estructuras con esa geometría hiperbólica.
Otro problema que resolvió es cómo se deforma la geometría de un espacio bajo ciertos movimientos, era un problema muy chungo y al relacionarlo con teoría ergódica (procesos aleatorios) lo hizo muy "fácil".
Ahora hay otro problema en el que está trabajando que parece más "juego" que es saber todas las posibles trayectorias de una bola de billar rebotando ad infinitum en una mesa de billar de n lados. Ya hay aplicaciones a cómo poner espejos en una sala para que un guardia de seguridad pueda ver lo máximo desde su posición.
#5 #9, la aplicación más clara ahora mismo está en machine learning porque está de moda, en Manifold learning que se llama y es lo que usa Google para la búsqueda por imágenes. También se utiliza en clasificación de proteínas según estructura, etc. Otro ejemplo está en los programas que pasan de los esquemáticos de un circuito a su diseño en una motherboard, usan técnicas de topología y geometría diferencial relativamente elevadas. También en teoría de control, (aunque esto ya lleva resuelto un tiempo), cómo modificar órbitas de satélites artificiales para que se crucen pero no se choquen.
Supongo que Kartalon ya lo sabe, pero por si alguien no, añadir dimensiones no significa pensar en espacio-tiempo chungo, sino en añadir parámetros, o grados de libertad (por ejemplo un brazo robótico tiene 6 grados de libertad, ergo se mueve en un espacio 6-dimensional donde las geodésicas no son líneas rectas).
#6 gracias, corregido, había leído mal : ) .
