¿Existe un cuerpo geométrico que pueda ser rodeado por cuerpos iguales?

Lez

Hola. Me estaba preguntando si existe un cuerpo geométrico que tenga la misma propiedad que el hexágono, es decir, el hexágono puede ser rodeado por hexágonos del mismo tamaño yuxtaponiendo sus caras de tal manera que ningún vértice del hexágono central quede expuesto luego de la primer fila de hexágonos.
No ocurre lo mismo con las otras figuras geométricas, como pueden ver:

Ven que el triángulo luego de ser rodeado por triángulos no termina de cubrirse ya que sus vértices quedan al descubierto. Lo mismo ocurre con el cuadrado y el pentágono:

Pero con el hexágono sí se logran cubrir todos sus vértices:

Lo que quiero sabes es si existe algun cuerpo geométrico tridimensional que cumpla la misma premisa. Es decir, que no deje expuesta ninguna arista ni vértice del cuerpo central colocando copias del mismo cuerpo pegados por las caras.

Se me ocurrió que podría llegar a ser el dodecaedro pero lo dibujé en autoCAD y me di cuenta que con este cuerpo también quedan espacios sin cubrir:

Espero que alguien conozca el nombre de esta propiedad así la investigo mejor y si existe algún cuerpo que la satisfaga.

Gracias!

GamA

Esta es la mejor

https://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_de_Weaire-Phelan

Aunque hay otras que también satisfacen la premisa:

https://es.wikipedia.org/wiki/Octaedro_truncado

De nada

1 respuesta
Ulmo

Parece un pregunta algo equivalente a la de cuántas figuras geométricas pueden llenar todo el espacio sin dejar huecos. No es exactamente la misma respuesta, ya que aquí hablas de no dejar aristas libres y compartir al menos un segmento te tamaño mayor a 0 con el objeto central, pero algunas de las soluciones son compartidas. Por ejemplo:

No me las he revisado todas, pero la tercera de la primera columna cumpliría tu condición, no deja aristas libres. También la quinta de la segunda fila, la primera de la cuarta fila, etc.

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22sortt

El icosaedro

tute07011988

¿Esto lo cumple?

Glumyglu

¿Puedes probar con un icosaedro truncado?

2 respuestas
Lez

Si, pero no se dibujarlo en CAD

Lez

#6 igual a simple vista ya se nota que quedarán zonas sin contacto, es similar a una esfera

1 respuesta
GamA

#8 Ya te di la respuesta perfecta en #2.

Para más info de por qué es perfecta:

1
tute07011988

Vienes a preguntar cosas y no atiendes a nadie que te responde :psyduck:

3
Thouy

Partiendo de la necesidad de optimizar las características del polígono, no. Es decir, es el polígono más simple que cumple.

Eoaden

#1 Creo que deberías especificar más bien si el cuerpo debe estar formados por polígonos regulares, porque lo de #3 cumplen con lo que dices a priori pero creo que no es lo que pides.

1
ZaZiTa

#1 El escutoide es la mejor forma geometrica de largo


5 1 respuesta
1 mes después
J

El rombododecaedro tiene esa propiedad, tiene 12 caras y 14 vértices, cada rombododecaedro se rodea de 12 iguales unidos por sus caras, sin dejar expuestos vértices ni aristas, y rellenando el espacio . Es el poliedro Dual del cuboctahedro (el Vector Equilibrio de Wolfram), que es de lo más curioso: todas las aristas del cuboctahedro tienen la misma longitud, que es también igual a la distancia que va del centro del cuboctaedro a cada uno de sus vértices. Si unimos infinitos octaedros por sus vértices, tenemos un entramado de octaedros extendido por todo el espacio, y los huecos que quedan son cuboctahedros.

1 1 respuesta
1 mes después
Lez

#14 Gracias, ahora puedo seguir indagando sobre el tema. Encontré dos libros que parecen interesantes sobre esto, uno de Kepler sobre los copos de nieve y otro de Platon (Timeo) sobre los solidos regulares.

Por cierto, la tuya fue la respuesta que buscaba, porque quería que sea un sólido de caras iguales, pero no sabía como expresarme para hacerme entender.

5 meses después
J
#1Lez:

Espero que alguien conozca el nombre de esta propiedad así la investigo mejor y si existe algún cuerpo que la satisfaga.

Repasando tu pregunta original, la propiedad a la que te refieres, de rellenar el espacio mediante la unión de cuerpos geométricos, se denomina "teselación del espacio".

En cristalografía también se puede relacionar con la propiedad denominada "coordinación". Por ejemplo, en el caso de un empaquetamiento de esferas, podemos apilarlas en una red cúbica centrada en las caras (fcc), de forma que una queda rodeada de otras doce; estas doce forman lo que se denomina "esfera de coordinación" de la esfera original, o de manera equivalente, podemos decir que el número o índice de coordinación de dicha esfera es 12.

3 1 respuesta
Lez

#16 genial, gracias. No se por qué me genera curiosidad esta propiedad, siento que si un material se compone por moléculas que tienen esta forma sería muy duro o resistente, o super denso

2 respuestas
J

#17 La verdad es que sí, se trata de una morfología fascinante. El rombododecaedro pertenece al sistema de simetría cúbica, aunque no tiene relación directa con la dureza de los minerales, los hay bastante duros como el granate (7.5 Mohs), y otros que lo son menos, como la magnetita (6) o la fluorita (4).

Si te interesa el tema te recomiendo: https://mathworld.wolfram.com/Space-FillingPolyhedron.html

P4N4D3R0

No se porque he entrado a este hilo pero he acabado mareado.

2 respuestas
Alrich

#19 Yo salí contento, esa sensación de gusto que da leer a alguien que entiende de un tema (JB82) No se si le pasa a alguien más :joy:

Tritoman

#19 yo voy to fumao y me he quedado loco con #13

1 respuesta
ZaZiTa

#21 lo es o no? :D, busca info y te va a derrapar la cabeza

Nirfel

#17 La dureza de un material está relacionada con el tipo de enlace entre los átomos dentro de la molécula y las interacciones entre las moléculas, no tanto con el tipo de empaqueta miento. Por ejemplo, el grafito está hecho de capas y capas de grafeno. Es conocido como un material exfoliable (se rompe en láminas) porque las interacciones entre las capas de grafeno son interacciones entre los orbitales pi débiles, mientras que los enalces dentro del grafeno son enlaces covalentes fuertes.

Hasta cierto punto, la fuerza de un enlace químico está relacionado con la distancia del enlace. Por ejemplo, un enlace simple de carbono es más largo y menos fuerte que un enlace doble y este es menos fuerte que un enlace triple. (No confundir fuerza del enlace con reactividad, los alquenos son especies mucho más reactivas que los alcanos a pesar de tener un enlace doble)

La densidad por otro lado, depende del empaquetamiento, es decir, de cuántos átomos puedas meter por cada unidad de volumen. Pero los átomos tienen un tamaño que depende de su estructura electrónica, por lo que los empaqueta miento más compactos son al final aquellos en donde puedas poner "bolas" de forma ordenada dejando el mínimo espacio sin ocupar posible. Los empaquetamientos más compactos son FCC (Face Centre Cubic) y HCP (Hexagonal Closed Package).

3 meses después
jacare

no te vale un cubo?

2 respuestas
Fox-ES

#24 No, no vale deja los vértices sin cubrir.

¿La cruz es válida o solo busca formas geométricas regulares?

1 respuesta
nyxi

Justamente este vídeo de Las Matemáticas son para siempre, de Eduardo Sanz de Cabezón habla de este tema, es muy interesante:

Habla justamente de lo que ha dicho #2 de la estructura Weaire-Phelan, de que de momento se considera la mejor estructura hasta que se demuestre con un teorema o se encuentre otra todavía mejor. También explica por qué no se pueden aceptar de momento figuras truncadas (en este caso en relación a un octaedro) #6 y #2, y por qué no vale el cubo #24

Lez

#25 buscaba un cuerpo 3D. Ya fue respondido, es el dodecaedro rómbico el único que cumple mi consigna

B

d

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