La teoría de la probabilidad y sus descontentos

#29c0b4c:

Sin embargo, de esta forma no se podrian diferenciar las probabilidades asignadas de alguien que no sabe y alguien que si sabe.

Esto me suena a los valores de incertidumbre de mediciones y de la propagación de esa incertidumbre a todos los valores calculados según esas mediciones originales, es algo asi lo que crees que deberia de existir en probabilidad para poder definir la extensión de la incertidumbre de la probabilidad?

#30 estoy de acuerdo en todo lo que dices, especialmente al mencionar que en la segunda crítica se ponen en el mismo plano epistemología (agente racional, principio de indiferencia) y matemáticas, pero si no he entendido mal, el primer problema de #1 es que con el formalismo de Kolmogorov es imposible (por la aditividad numerable) definir una distribución uniforme sobre un conjunto numerable, y el ejemplo que das es sobre [0,1].

Obviamente, como comentas, esto está perfectamente explicado en términos de teoría de la medida, pero me parece una observación interesante que ilustra como nuestras intuiciones sobre el concepto de probabilidad (término complejo donde los haya) chocan con los intentos de formalizarlo.

#30quetzalcube:

En tu segunda objeción no sé de qué hablas, de verdad. No lo digo por ser seco o cortante, pero no voy a leer ni una enciclopedia ni un artículo porque es algo que he aprendido por experiencia como matemático: si el que pregunta no es capaz de expresarme su duda ya tiene deberes, expresarla. Repito: la P puede ser una incógnita en la axiomática de Kolmogorov (como en cualqueir otra parte de las matemáticas), no sé a qué te refieres.

Lo siento, a mi juicio el problema esta perfectamente formulado. Quiza la falta de entendimiento resida en que nunca te has encontrado en dicha tesitura, la cual nace de forma natural en problemas de cuantificacion de incertidumbre en el mundo real (ingenieria, policy making). Si me equivoco y si que tienes experiencia con el mundo real, entonces el problema es incluso peor de lo que me esperaba. En cualquier caso, gracias por hacer el intento. Como digo, Peter Walley o Thomas Augustin son mucho mas claros que yo, te invito a que los leas.

#32n3krO:

Esto me suena a los valores de incertidumbre de mediciones y de la propagación de esa incertidumbre a todos los valores calculados según esas mediciones originales, es algo asi lo que crees que deberia de existir en probabilidad para poder definir la extensión de la incertidumbre de la probabilidad?

Es algo asi, si. Existe, y llevan decadas desarrollandose. Se llama teoria de las probabilidades imprecisas. No hay consenso, pues existen diferentes estructuras (intervalos, belief functions, lower coherent provisions, credal sets...), pero la intencion esta ahi.

#34 Bueno, es que no es cierto que nuestras intuiciones sean acertadas. Hay la torta de ejemplos. Por ejemplo, "decaedro regular" es una noción matemática perfectamente clara e intuitiva (un poliedro regular de diez lados).

Teorema: el decaedro regular no existe.

¿está "mal" la geometría euclídea? ¿Es un "problema" esto? ¿"Esquiva" la geometría euclídea al decaedro regular? Evidentemente no. El decaedro regular no existe. Una concepto matemático puede no existir, el conjunto de "decaedros regulares" ser vacío. No pasa nada.

Como comprenderás, mucho más intuitiva y clara es la noción de "decaedro regular" que la de "lotería infinito-numerable uniforme justa". Si la no existencia del primero no es problema, ¿por qué debería serlo la no existencia de la segunda, que es un concepto oscuro y que cualquier matemático que lo viese por primera vez te pediría que demostrases que sí existe? Mi experiencia de matemático me dice que una noción así tiene muchas papeletas de no existir. No es problema de la teoría, o uno debería justificar porque esa noción tran estraflaria debería de tener sentido. Cuando en matemáticas o en filosofía matemátiuca se dice "tal o cual teoría no es adecuada porque el concepto x no tiene sentido" ese concepto debe de ser indubitable (punto, recta, primo, par, impar) y nuestra teoría debería de recogerlo. Lo que no vale es enunciar un concepto cuya primera cuestión es si existe o es una noción vacía como la de "decadreo regular", y luego criticar una teoría porque el concepto no existe.

Fíjate que al decir "uniforme" compras papeletas ( y muchas)n para que no exista. La condición de "uniforme" es como la de "regular" (en todo punto igual). Esa es una condición fortísima y lo raro es que existan ejemplos que sí lo cumplan. De hecho, en los poliedros todos los que existen han sido muy famosos.

El problema de la probabilidad es filósofico. Quiero decir que la noción "filosófica" de probabilidad es problemática. No vale decir que "las matemáticas son problemáticas o tales axiomas no son consistentes. No , las mates no son problemáticas, son perfectamente rigurosas. Otra cosa es que la noción filosófica de probabilidad (la cual es problemática en sí) sea recogida por la noción matemática. Ahí se podrá hablar, pero no en base a una lotería uniforme infinita-numerable justa. A nadie le importa ese concepto, que perfectamente podría ser el conjunto vacío.

#36 Por una vez, y sin que sirva de precedente, me he saltado mi regla y me he leído uno de tus enlaces No te lo tomes a mal, estoy encantado con el hilo, me recuerda a mis años en la carrera debatiendo de lo divino y de lo humano con toda la vehemencia que la dialéctica permita. Pero ya sabes lo que dicen, pensar es pensar contra alguien

Después de leer tu enlace, te digo que en cuanto al segundo punto, creo que te has hecho un poco un taco. Hay que distinguir dos cosas: por un lado están las matemáticas, y por otro la gente que aplica (mal) las matemáticas (como los filósofos). Me explico:

• Las matemáticas estudian, entre otras muchas cosas, las σ-álgebras y la teoría de la medida. Esta es una teoría matemática perfectamente rigurosa y no tienen problemas, es consistente (no tiene contradicciones), tiene sus teoremas, como que ciertos espacios de medida no existen. Dentro de esta teoría hay un concepto, llámalo espacios de Kolmogorov, la teoría de la integral de Lebesgue, etc... La teoría de la medida es una teoría muy buena y rica que ha dado muchos frutos. Perfecto, no hay problema, todo riguroso.

• La gente que quiere "aplicar" las matemáticas. Te los vas a encontrar de todo tipo de pelaje: físicos, químicos, ingenieros, economistas y filósofos, entre muchos. Ahí vas a tener muchos problemas, porque casi por definición siempre que "apliques" las mates lo haces mal. Por ejemplo, si un físico quiere usar la geometría euclídea para describir el sistema solar se la va a pegar, porque los efectos relativistas no se pueden expresar en geometría euclídea. ¿Es un problema de la geometría euclídea? ¿Esquiva la geoemtría euclidea algo? ¿Es inconsistente la geometría euclídea? No, la geometría euclídea es perfecta en su ser, no tiene contradicciones. El problema viene del físico pretencioso que ha dicho "el sistema solar es un espacio euclídeo". Esa es una afirmación no matemática y falsa. Las matemáticas están bien en su sitio.

En tu caso concreto, en el momento en el que alguien dice "probabilidad" estás fuera de las matemáticas. Cuando alguien te dice que "un espacio de probabilidad es un espacio de Kolmogorov" está fuera de las mates, las está aplicando. De hecho, la probabilidad es concepto filosófico problemático, muy problemático, y no está claro siquiera que tenga sentido.

Yendo más a tu segunda cuestión. Dentro de la filosofía y de la gente que "aplica" algo de mates a la confusa idea de "probabilidad" hay disitintas escuelas. Está la inferencia estadística (no conozco la P y, haciendo experimentos, quiero sacar la P) o la probabilidad Bayesiana (realmente no hablo de probabilidad cuando digo P, sino que P mide mi confianza en que ocurra o no un suceso). En esta última "aplicación" de las mates, (cojo un espacio de medida, defino un función medible P que dice mi confianza, etc...) entra eso de que si asumo que todo es equiprobable, o no, o lo que a mi me parece, etc.... Por eso, en esa peculiar aplicación Bayesiana, la P no es una incógnita, es un dato: es mi confianza en que va a ocurrir un suceso u otro. Es un dato.

¿Es eso que los axiomas de Kolmogorov están rotos desde la base? No, lo "roto desde la base" es pensar que noción de probabilidad + perspectiva bayesiana (probabilidad = confianza) + axiomas de Kolmogorov es un cóctel más sano que el cóctel Molotov. Es decir, ese combinado tendrá sus problemas, evidentemente, porque lo raro sería que no los tuviese!

#39 Gracias por el post. Sí, eso que dices de 1) tiene mucho más sentido. Como he escrito más arriba, aquí estamos mezclando dos temas: las mates, y la aplicación que la gente de filosofía (o probabilistas, qué más da) hacen de las mates.

Hay un problema de partida, y es que la probabilidad no es matemáticas. En el momento en el que uno mete un concepto "físico", "filosófico", "real" y dice que eso está modelado por un concepto matemático hace algo que no son matemáticas, es filosofía o aplicación de las mates pero no son mates. No tengo objeción con que alguien diga que la noción intuitiva de probabilidad es muy probelmática, o no está bien descrita por un espacio de Kolmogorov. Perfecto. Pero, como matemático o como filósofo, te preguntaré ¿qué es la probabilidad? Es un concepto muy oscuro, y estamos a tortas con él.

Dicho esto, nunca está del todo claro qué es antes, si el huevo o la gallina, en cuanto a si las mates son nociones per se o tienen su fundamento y única justificación en su capacidad para describir el mundo real. Es una cuestión filosófica no zanjada. La historia y la experiencia, sin embargo, nos demuestra que esa es otra cuestión de primer nivel. No es verdad que todas las matemáticas, ni siquiera las más importantes, históricamente vengan de la experiencia. No son pocos los hallazgos matemáticos que han precedido a la experiencia o la han desbordado. Ni siquiera es cierto que toda la matemática sea un "límite" de la "matemática intuitiva" o que podemos construir a partir de la experiencia. Sin embargo, es una de las cosas más sorprendentes y llamativas que la íntima realidad de la naturaleza parece ser matemática y racional.