Estudio un ciclo superior de desarrollo multiplataforma,donde un profesor nos ha propuesto que busquemos una API que nos interese,para poder trabajar con ella.
Saludos 
Si te refieres a API Rest
Spotify, Last.fm, GitHub, Twitter...
A mi personalmente me gusta mucho la música así que he trasteado tanto con la de Spotify como con la de Last.fm y no están mal para aprender a usar API's Rest ( mejor la de spotify ).
Si te refieres a API cómo librería no tiene mucho sentido sin saber el lenguaje xD
#4 sí se refiere a API como librería, puedes echarle un vistazo a Joda Time, es una librería ( que ofrece una API) para trabajar con fechas en Java. Un buen ejemplo de como representar en forma de objetos un problema real y un placer trabajar con ella.
la asignatura va de acceso a datos,a mi me molaría pillar datos de facebook,por ejemplo
alguna api que tenga utilidad en aplicaciones móviles
#7 La API de facebook es de pago. Metete con la api de Twitter que si es gratuita, o con la API de SearchEngine de Google.
#9 Puff miles de cosas, mira esta tool http://vicenteaguileradiaz.com/tools/ esta hecha con la API de twitter en python. Mira las utilidades que tiene. Con la API de SearchEngine de Google puedes hacer un bot para buscar cosas con un minimo de querys.
#9 tienes que pensar en que te gustaría que hiciera tu aplicación y buscar una api que te sirva... hay mil apis en internet de mil sitios con millones de datos que tratar, piensa que te gustaría y listo xd