Historia de la demostración del teorema
Pierre de Fermat
El primer matemático que consiguió avanzar sobre este teorema fue el propio Fermat, que demostró el caso n=4 usando la técnica del descenso infinito, una variante del principio de inducción.
Leonhard Euler
Leonhard Euler demostró el caso n = 3. El 4 de agosto de 1753 Euler escribió a Goldbach reclamando tener una demostración para el caso n = 3. En Álgebra (1770) se encontró una falacia en la demostración de Euler. Corregirla directamente era demasiado difícil, pero otros aportes anteriores de Euler permitían encontrar una solución correcta por medios más simples. Por esto se consideró que Euler había demostrado ese caso. Del análisis de la demostración fallida de Euler surgió la evidencia de que ciertos conjuntos de números complejos no se comportaban de igual manera que los enteros.
Sophie Germain
El siguiente mayor paso fue hecho por la matemática Sophie Germain. Un caso especial dice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y o z es divisible por p. En consecuencia la conjetura se divide en dos casos:
Caso 1: ninguno de los x, y, z es divisible por p;
Caso 2: uno y sólo uno de x, y, z es divisible por p.
Sophie Germain probó el caso 1 para todo p menor que 100 y Adrien-Marie Legendre extendió sus métodos a todos los números menores que 197. Aquí se encontró que el caso 2 no estaba demostrado ni siquiera para p = 5, por lo que fue evidente que era en el caso 2 en el que había que concentrarse. Este caso también se dividía entre varios casos posibles.
Ernst Kummer y otros
Cronología3
Año Acontecimiento
1665 Muere Fermat sin dejar constancia de su demostración.
1753 Leonhard Euler demostró el caso {\displaystyle n=3}n = 3.
1825 Adrien-Marie Legendre demostró el caso para {\displaystyle n=5}n = 5.
1839 Lamé demostró el caso n=7.
1843 Ernst Kummer afirma haber demostrado el teorema pero
Dirichlet encuentra un error.
1995 Andrew Wiles publica la demostración del teorema.
No fue hasta 1825 cuando Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Legendre generalizaron para n=5 la demostración de Euler. Lamé demostró el caso n=7 en 1839.
Entre 1844 y 1846 Ernst Kummer demostró que la factorización no única podía ser salvada mediante la introducción de números complejos ideales. Un año después Kummer afirma que el número 37 no es un primo regular (Ver: Números de Bernoulli). Luego se encuentra que tampoco 59 y 67 lo son. Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwänger, Vandiver y otros extienden la investigación a números más grandes. En 1915 Jensen demuestra que existen infinitos primos irregulares. La investigación se estanca por esta vía de la divisibilidad, a pesar de que se logran comprobaciones para n menor o igual a 4 000 000.
Andrew Wiles
En el año 1995 el matemático Andrew Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of mathematics, demostró el caso semiestable del Teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente una conjetura, que engarza las formas modulares y las curvas elípticas. De este trabajo, combinado con ideas de Frey y con el Teorema de Ribet, se desprende la demostración del Último Teorema de Fermat.4 Aunque una versión anterior (no publicada) del trabajo de Wiles contenía un error, este pudo ser corregido en la versión publicada, que consta de dos artículos, el segundo en colaboración con el matemático Richard Taylor. En estos trabajos por primera vez se establecen resultados de modularidad a partir de modularidad residual, por lo cual los resultados del tipo de los probados por Wiles y Taylor son denominados "Teoremas de Levantamiento Modular". En la actualidad resultados de este tipo, mucho más generales y poderosos, han sido probados por varios matemáticos: además de generalizaciones probadas por Wiles en colaboración con C. Skinner y de Taylor en colaboración con M. Harris, los más generales en la actualidad se deben a Mark Kisin. En el trabajo de 1995 de Wiles se abrió una nueva vía, prácticamente una nueva área: la de la modularidad. Con estas técnicas, de las que este trabajo fue pionero, se han resuelto más recientemente otras importantes conjeturas, como la Conjetura de Serre y la de Sato-Tate. Curiosamente, la resolución de los primeros casos de la Conjetura de Serre (trabajos de Khare, Wintenberger y Dieulefait), como observara el propio Serre al formular la conjetura, permite una nueva demostración del Último Teorema de Fermat.5
Los trabajos de Wiles por lo tanto tienen una importancia que trasciende ampliamente su aplicación al Último Teorema de Fermat: se consideran centrales en la Geometría Aritmética moderna y se espera que sigan jugando un rol vital en la demostración de resultados de modularidad que se enmarcan en el Programa de Langlands.