Paradojas Matematicas.

Vaya, yo no habría definido así nunca paradoja, es bueno saberlo. De hecho para mí ni lo de la banda esférica ni banach tarski son paradojas, la primera porque es algo cierto y la segunda porque es algo que depende de la axiomática (si aceptas el axioma de la elección tienes conjuntos que se llaman no medibles, que es en lo que se basa la paradoja de Banach-Tarski).

Una paradoja para mí es la de Rusell, la primera vez que la escribió fue para mostrar a Gottlob Frege, quien había escrito su axiomatización de la aritmética (Conceptografía), que se había equivocado y el pobre se retiró de todo xD. La paradoja es "sencilla":
Según el modelo de Frege tú podías hacer un conjunto a partir de cualquier cosa, citando una propiedad (hablo de memoria, a lo mejor la cago), así que creamos un conjunto en concreto que romperá los esquemas.
Sea S el conjunto cuyos elementos son aquellos conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Estos conjuntos ya son de por sí poco intuitivos pero bueno, según la teoría de Frege se podían construir. Entonces este conjunto de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, se pertenece a sí mismo? Si S se pertenece a sí mismo, entonces no se pertenece a sí mismo, pues todos los conjuntos en S son aquellos que no se pertenecen a sí mismos. Pero si no se pertenece a sí mismo entonces sí se pertenece a sí mismo, y he aquí la paradoja.

Realmente es la paradoja del mentiroso remasterizada... (en gaussianos está mejor explicada)
Otra manera de expresarla es:
Si "heterológico" significa que una palabra no se define a sí misma, es "heterológico" heterológica?

Hay otra muy buena que juega con el concepto de verdad, la paradoja de Curry:

Si no me equivoco, entonces P. (donde P es cualquier cosa que puedas meter). Como es una frase autoreferencial, tienes que si la frase es cierta, entonces se cumple P. Pero la frase es cierta, porque dice que si es cierta, entonces P y eso está claro, así que siempre se cumplirá P.

Por ejemplo, digo: Si no me equivoco el mundo se acaba mañana.

Evidentemente que si no me equivoco el mundo se acaba mañana, por lo tanto la frase en sí misma es cierta. Pero como la frase es cierta, "no me equivoco" y por tanto el mundo se acaba mañana. Es un poco de trampa porque en lenguaje natural todos entendemos que "si no me equivoco" no se refiere a "si la frase es cierta", es más bien una muletilla. Pero tiene gracia.

Hay otras divertidas como: Hay algún número que no sea interesante? O otras que juegan con los infinitos (El hotel de Hilbert, o de Cantor según quién la explique)