Tema 1: Demostraciones
Bueno, este es el primero de los temas a tratar en este pequeño curso. Es un tema corto corto, que no debería llevar más de 1 semana entender (más que nada porque algunas de las cosas se entenderán mejor cuando explique lógica y números naturales).
¿Qué es una demostración matemática?
Citando a la wikipedia: Una demostración matemática es un razonamiento realizado con una lógica válida que progresa a partir de ideas que se dan por ciertas (llamadas hipótesis) hasta la afirmación que se esté planteando, o sea, hasta obtener la veracidad de la tesis formulada. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción: fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión. El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.
Básicamente demostrar una afirmación es como resolver un rompecabezas. Nosotros tenemos unas piezas (los axiomas) y queremos llegar a un resultado, tenemos que combinarlo de la mejor manera. El único problema es que no sabemos si la afirmación es cierta o falsa de entrada. Fijaos bien, no saber demostrar una proposición/teorema/lema/whatever no implica que sea falso, simplemente que no lo hemos demostrado. Para demostrar que sea falso debemos demostrar la negación del teorema.
Estructura general de una proposición
Más que entrar en formalismos, voy a poner un ejemplo de teorema. El archifamoso teorema de Tales:
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Fijaos en toda la información implícita de esta afirmación. Para entenderla bien necesitamos saber:
Qué es exactamente un triángulo. (lo daré por sabido)
Qué es el lado de un triángulo. (lo daré por sabido)
Qué es una línea paralela a otra. (lo daré por sabido)
Qué son dos triangulos semejantes. (dos triángulos semejantes son aquellos que tienen los tres ángulos iguales dos a dos)
Qué significa decir "Si"..."se obtienen"...
Fijaos que lo que realmente está diciendo con este Si ... se obtienen ... es que esta oración se aplica PARA TODO (
) triángulo, y no solo para un triángulo concreto. Así que no vale dibujar un triángulo, medir los ángulos, dibujar una paralela a un costado y volver a medir los ángulos para demostrarlo. Tenemos que demostrarlo para todo triángulo. (nota: alguno me dirá que en geometría sintética se hacen demostraciones con dibujos pero no entraré en esto ahora)
Nuestros axiomas son en este caso los de la geometría afín, que no voy a comentar aquí, y a partir de ellos deberemos decidir si este teorema es cierto o falso. Pero siempre habiendo entendido perfectamente lo que dice el enunciado del teorema.
Aquí no nos centraremos en distinguir teorema/proposición/lema/etc. así que a todo le llamaré proposición a partir de ahora, excepto a las definiciones y los axiomas, claro.
Tipos más comunes de demostración
-
Deductiva: Debería ser la más común pero lo siento, no lo es. Esta demostración coge nuestros axiomas o premisas y con ellos va construyendo poco a poco la demostración. Voy a poner un ejemplo muy simple con el buscaminas:
Nuestros axiomas son las reglas del juego del buscaminas, y se nos pide que demostremos que en el caso de tener xxxx121xxxxx (supongamos todo lleno excepto hacia abajo) las minas estarán debajo de los 1.
Sabemos que debajo del 2 deben haber dos minas. Sabemos que hay 3 casillas libres debajo del 2. Por tanto 2 de esas 3 casillas tendrán mina.
Ahora bien, las dos casillas de la izquierda están en contacto con el 1 y ahí como máximo solo puede haber 1 mina, por tanto la otra tiene que estar en la casilla más a la derecha, justo debajo del 1 de la derecha. Por otro lado la casilla del medio ya no puede tener mina (está en contacto con el 1 de la derecha) y por tanto la otra mina debe estar debajo del otro 1.
-
Contrarrecíproco: Usa una propiedad lógica bastante sencilla de entender que se explicará en detalle en la próxima lección o la otra. A implica B es lo mismo que no B implica no A. Es decir, si yo digo: "Si llueve, me mojo" es lo mismo que decir "Si no estoy mojado, es que no ha llovido". Así que si queremos demostrar A implica B lo que hacemos es: Supongamos que B es falso y demostremos que A también lo es. Esto es útil en algunos casos que ya veremos. CUIDADO, esto NO es lo mismo que decir que "Si no llueve, entonces no me mojo" o "Si estoy mojado, es que ha llovido"
-
Reductio ad absurdum: Reducción al absurdo, esta SÍ es la demostración que más he usado en toda la carrera. Hay muchas maneras de explicarlo, pero para explicarlo simple, en matemáticas si afirmas una cosa que es mentira entras en contradicción contigo mismo y con las reglas más simples. En esto se basa Reductio ad absurdum. Si nosotros queremos demostrar que una cosa es cierta, pues supongamos que es falsa y lleguemos a una contradicción lógica con alguna de nuestras suposiciones (por ejemplo, que 0 = 1). En la wiki podéis encontrar un par de buenos ejemplos.
-
Inducción: Esta demostración siempre se explica muy mal y yo no voy a ser menos. Se usa para demostrar afirmaciones que dependen de un parámetro que recorre los números enteros o naturales y se basa en el principio de inducción de los números naturales. Pero no voy a entrar en detalles de momento sobre eso. Simplemente explicaré la metodología:
Lo que se nos pide siempre en una demostración por inducción se puede traducir a algo tal que así:
Demostrar que, para todo n número natural, se cumple una cierta propiedad P(n).
Los pasos a seguir para hacer esta demostración son:
1) Demostrar que se cumple P(1) (o de 0, en general no importa mucho pero id con cuidado).
2) Demostrar que si se cumple P(n) entonces también se cumple P(n+1).
3) Profit, o sea, que ya está (la idea es que si se cumple para 1 y hemos visto que si se cumple para n se cumplirá para n+1, tendremos que se cumple para 2, y para 3, y para 4, y... y para todo n vamos).
Podría añadir otros detallitos como demostrar por casos y tal, pero esto es lo básico. Y esto es todo por hoy. ¿Fácil, eono?
Y ahora, los tan esperados ejercicios!!
Si los queréis hacer, por favor no pongáis la solución hasta miércoles-jueves de la semana que viene.
- Partiendo de que sabes lo que es una recta, una semirrecta, un segmento y un punto, define de manera precisa:
- Triángulo
- Costado de un triángulo
- Recta paralela a otra recta
- En una situación parecida a la demostración del buscaminas anterior:
xxxxxxxxxxxxxx
xxxx1221xxxxx
oooooooooooo
Demuestra que las dos minas están debajo de los dos 2. La demostración la puedes hacer de cualquier manera que se te ocurra.
- Demuestra por inducción que (nota: Cuidado los que tengáis theme oscuro, hay imágenes con fondo transparente aquí):
(la primera igualdad es una definición, eso no hay que demostrarlo, es la segunda la que cuenta).
Problema
Demostrar que si n y m son números enteros que cumplen: n + n2 + n3 = m + m2 entonces n es necesariamente un número par.
Cuando entremos en el tema de enteros y racionales demostraré por reducción al absurdo que raíz de 2 no es un número racional y que existen infinitos números primos. Si queréis podéis ir mirando la demostración por internet.
