Ecuaciones diferenciales 301

B

Hola gente,

Nuestro estimado forero hda y un servidor nos hemos decidido a abrir un hilo de ecuaciones diferenciales. El hilo estará en construcción para siempre, y habrá ejercicios así como teoría y aplicaciones. Este hilo pretende ser poco más que una introducción a un campo tan vasto como son las Ecuaciones Diferenciales (ED, para abreviar), y hablar de las que aparecen con más frecuencia en el mundo de la física así como de los resultados matemáticos que hay y por qué importan.

Estructura del hilo

Yo haré la parte aburrida de la teoría, y luego colaboraré con hda para hablar de aplicaciones interesantes y quizás poner ejemplos y problemas.

  • En #1 encontraréis una breve introducción a las ecuaciones en general que nos servirá para entender cómo estudiamos las ecuaciones diferenciales

    ¿Qué es una ecuación?

Para entender qué son y cómo se solucionan las ecuaciones diferenciales, primero hay que entender qué es una ecuación.

Desde pequeños aprendemos a resolver ecuaciones:

\( 3x = 2 \)

\( \{\begin{align}
2x & + 3y &= 2\\
x & - y & = 0
\end{align} \)

\( x2 - 2x + 1 = 0 \)

Fijaos que podemos pensar en las siguientes funciones:
\( f(x) = 3x \)

\( g(x,y) = \left( \begin{array}{c} 2x + 3y \\ x-y \end{array} \right) \)

\( h(x) = x2 - 2x + 1 \)

Y entonces las ecuaciones no son más que:

\( f(x) = 2 \)
\( g(x,y) = (2,0) \)
\( h(x) = 0 \)

En general una ecuación no es más que esto: tenemos una función \(f(x)\) y dada una constante \(c\) queremos saber para qué \(x \) tenemos \(f(x) = c\)

¿Qué determina una ecuación?

La ecuación esta determinada por la función \(f\) y la constante \(c\). ¡Pero esto es demasiado genérico! Intentemos ser más detallistas. Una función no es más que una "regla" de asignación entre elementos de un espacio \( \mathcal{X} \) y elementos de otro espacio \( \mathcal{Y} \). ¡Entender esto es fundamental para entender las ecuaciones diferenciales! Veamos un ejemplo:

La función \( f(x,y,z) = x3 + y3 - z3 \) la podemos considerar como una función que lleva elementos de \( \mathbb{R}3 \) a \( \mathbb{R} \), o como una función que lleva elementos de \( \mathbb{Z}3 \) a \( \mathbb{Z} \). En el primer caso, la ecuación
\( f(x,y,z) = 0 \) tiene infinitas soluciones en \( \mathbb{R}3 \), mientras que, en el segundo caso, ahora sabemos (Gracias al teorema de Fermat/Wiles) que la ecuación \( f(x,y,z) = 0 \) no tiene ninguna solución. Si os interesan las ecuaciones (no diferenciales) donde las incógnitas no son números reales sino enteros o racionales, podéis empezar por aquí.

Cuando las incógnitas son funciones...

El siguiente paso, y ya nos acercamos mucho a las ED, es pensar qué pasa cuando las incógnitas son funciones en sí mismas. Un ejemplo (que todos los participantes en olimpiadas de matemáticas habrán visto y odiado) son las llamadas ecuaciones funcionales. ¿Existe alguna función \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) que cumpla:

\( f(x2) = f(x) \) para toda \(x \in \mathbb{R}\)?

¡Esto también se puede escribir como hemos dicho antes! En este caso tenemos una función que va de \( \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \) a \( \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \) ( \(\mathcal{F}(X,Y) \) lo definimos como el espacio de todas las funciones que van de \(X\) a \(Y\)):

\( T(f) (x) = f(x2) - f(x) \) o, lo que es lo mismo, si \( \circ \) es la composición de funciones y \( s(x) = x2 \), entonces

\( T(f) = f\circ s - f \)

De nuevo el espacio de soluciones importa: Si admitimos cualquier función (no continuas incluidas) entonces hay infinitas soluciones (Muy infinitas y mucho infinitas). Si solo aceptamos funciones continuas \( \mathcal{C}0 (\mathbb{R}) \) entonces solo valen las constantes (Creo, no lo he demostrado rigurosamente).

Último paso, añadir derivadas

Ahora lo que todos estabais esperando: ¡Derivadas!

Supongamos que tenemos una ecuación sencillita y típica:
\( f' (x) = 3f(x) \)

donde queremos que las soluciones sean al menos una vez derivables ( \( \mathcal{C}1(\mathbb{R}) \) ) .

Volviendo a nuestra notación, y si \( D \) es la función que va de \( \mathcal{C}1(\mathbb{R}) \) a \( \mathcal{C}0(\mathbb{R}) \) con \(Df = f' \), tenemos que nuestra ecuación es:
\( Tf = 0 \) con \(T = D - 3\text{Id}\)

Esta ecuación tiene infinitas soluciones, como ya sabréis: \( f(x) = ke{3x} \). No obstante si en lugar de considerar \( T \) en \( \mathcal{C}1 \) lo consideramos en el subconjunto de ese espacio tal que \( f(0) = 1 \) entonces solo tiene una solución. Como vemos, ¡el espacio donde buscamos la solución importa!

Pasos para resolver una ecuación

  1. Saber si existe solución a la ecuación. Si en el espacio que estamos no existe solución a nuestra ecuación tenemos un problema. Es esencial saber si teóricamente puede existir una solución, pues de otro modo a lo mejor hacemos simulaciones numéricas y nos da algo, pero ese algo realmente no tiene ningún sentido físico (ni matemático). Hay varios casos a tener en cuenta, pero simplificaré y sólo hablaré de 2:
    • La solución no existe en el espacio donde miramos, y no hay manera de acercarnos. Este caso sería el de \( x2 + 1 = 0 \) en los reales. Poco podemos hacer aquí para resolver la ecuación, si no es cambiar nuestro dominio totalmente e ir a los complejos. Esto daría para un tema nuevo porque se puede mirar desde el punto de vista algebraico o topológico (los reales no son densos en los complejos)
    • La solución no existe en el espacio donde miramos, pero nos podemos acercar tanto como queramos. Este caso sería el de \( x2 - 2 = 0 \) en los racionales. Podemos ir cogiendo números que se aproximen a la solución exacta tanto como queramos: \( {1,1.4,1.42,\dots} \). Esto pasa porque los racionales son densos en los reales. Esto lo aprovechamos mucho cuando buscamos soluciones numéricas (elementos finitos) a una ecuación diferencial: Miramos sólo soluciones de tipo polinomios, y vamos cogiendo polinomios que se aproximen más y más a la solución real.
  2. Saber si la solución es única. Una vez sepamos que existe una solución a la ecuación, necesitamos saber si dicha solución es única. Si no es única, quizás sólo una de las soluciones tiene sentido físico y por tanto debemos quizás restringir nuestro espacio de búsqueda. A nivel numérico también es esencial saber si la solución es única o no porque, si no lo es, entonces cualquier método numérico (O casi cualquiera) va a converger a una combinación lineal de las soluciones (Y eso no siempre tiene por qué ser una solución).
  3. Conocer las propiedades de la solución. Quizás no podemos escribir la solución perfectamente sobre un papel, pero podemos saber cosas: ¿Es mayor que 0? ¿Es una función continua, derivable, integrable? ¡Quizás buscamos la solución en un espacio muy grande (\( L2 \)) pero realmente la solución está en un subespacio de este, más pequeño!

Apéndice: Notación

Apéndice:Lista de ecuaciones

Los diferencialitos

Los diferencialitos son una serie de personajes de ficción creados por hda en clases de matemática diferencial (¡de sus favoritas!), variados y divertidos, quienes le ayudaban a arrancar el duende matemático que tenía dentro, cuando terminado el café de media mañana, asimilaba los conceptos que los profesores daban.

Ver 0.2.7Rev220616-3

19
Mirtor

Buah, genial idea, la verdad, ¡a favoritos! Eso sí, me duele muchísimo que falten 976546578 tildes, no haya signos de aprtura y haya un par de frases que me han sonado raras. En un hilo así creo que habría que cuidar más esas cosas. Me ofrezco voluntario como corrector ortográfico y de estilo xD

Por otro lado estaría bien que explicarais un poco la notación más para dummies. Me he enterado de las cosas porque entiendo de ecuaciones diferenciales a un nivel básico y por tanto la notación me es familiar, pero no sé si para alguien que no maneje será demasiado duro. Igual un apéndice sobre notación o algo así sería buena idea, para dejar limpio el texto principal.

1 2 respuestas
parsec

genial a fav, cuando acabe examenes me paso por aqui

B

#2 disculpas por la maquetación, uso un teclado americano y la parte de LaTeX la hago con este (los dedos me van solos), mientras que para escribir tengo que pasarme al español (que tengo una macro que va ciclando americano - español - ruso pero es un palo y acabo pasando). Además después de 2 años en USA y escribiendo y leyendo casi todo en inglés me sabe mal decirlo pero he perdido fluidez... Con signos de apertura a qué te refieres?

Soy consciente de que hay errores ortográficos y tal, y agradeceré correcciones, pero prefería abrirlo y que fuera un hilo orgánico antes que estar semanas preparándolo y perder la ilusión xD. Te añadiré como editor cuando sepa cómo hacerlo...

Sobre la notación, por eso es Ecuaciones diferenciales 301 y no 101 xD, pero entiendo lo que dices. Intentaré hacer un apéndice.
#2 lo he arreglado un poco.

1 respuesta
Mirtor

#4 Con signos de apertura me refiero a "¡" y "¿". Entiendo lo que dices de que pierdas fluidez, me pasa a mí a veces que digo cosas raras en castellano por influencia del inglés y no he pasado más de una semana seguida fuera de España en mi vida, no me quiero imaginar lo que tiene que ser viviendo fuera xD

hda

#1 qué maravilla, ¡vaya trabajo!

Ecuaciones que podemos tratar (quizás podríamos añadir al final de #1 una lista, por si alguien propone más). Lo cierto es que cada una podría dar para un hilo (¡o hilos!) propios:

  • Ecuación Ordinaria lineal homogéna
  • Oscilador harmónico (podemos meter luego el amortiguado+forzado)
  • EO No lineal: Ecuación del péndulo (¿dos péndulos acoplados?, ¡caos!)
  • Sistema de Ordinarias: Ecuación depredador-presa
  • Ecuación Diferencial derivadas Parciales: Ecuación del laplace, calor y ondas

¡Currazo lo de #1!

2 respuestas
B

#6 yo voto por pendulo doble

B

#6 hay material para hilos e hilos xD, en cuanto sepa como añadir gente a #1 te añado a ti y a Mirtor.

B

Entiendo hasta lo de "3Id" xDD

1 respuesta
B

#9 es 3 veces la identidad , es decir \( \text{Id}(f) = f \)
#2 editado con notacion y tal, y en principio deberias tener permisos de edicion!

1 respuesta
Mirtor

#10 Sep, los tengo. En un ratillo le echo un ojo.

hda

¡Diferencialitos añadidos!

Mirtor

Eh, he visto un código de versión abajo y no pienso cambiar nada hasta que se me explique cómo manipularlo xD ¿Simplemente la fecha y el numerito o qué?

PD: Fan de los diferencialitos.

1 respuesta
hda

#13 la versión me lo he inventado (¡es lo que hay que hacer en estos casos!, ¿no?). A ver, se me ocurrió el siguiente formato: x.y.zRevDATE-n, en cursiva lo que es variable.

  • Si metemos cambios pequeños vamos aumentando z
  • Si metemos cambios grandes aumentamos y y ponemos z a 0 (o si consideramos que hemos llegado a un punto suficientemente avanzado de z)
  • Siempre que modifiquemos cambiamos la fecha, DATE
  • n lo he puesto para indicar revisiones muy pequeñas (una coma, separar unos párrafos...) que hayan sido hechos en x.y.z. Además siempre mola un guión con un número al final xDDD

La finalidad es llegar (¡y superar!) la versión 1.0.0

Por supuesto que podemos hacer lo que nos salga del pito y poner cualquier cosa o no poner nada. Pero yo creo que le da caché al asunto jajaja


¡Me alegra que te gusten los diferencialitos!, ¡si tú haces ecuaciones diferenciales, también le gustarás a ellos y te ayudarán a resolverlas!

1 respuesta
Mirtor

#14 Le da caché, le da caché. Y por cierto, ¿qué clase de implosión espaciotemporal sucede si editamos dos personas a la vez?

PD: En castellano, se escribe "armónico" y no "harmónico".

2 respuestas
hda

#15 la implosión de que el que edita al final, se carga lo que editó el otro. Por eso si editamos (y los otros están conectados) lo ideal es que avisemos con una firmilla.

2 respuestas
Mirtor

#16 Buena idea, yo ya te aviso de que estoy editando, Duronman veo que no está conectado.

EDIT: Me habré dejado mil cosas, pero alguna tilde y exclamación de apertura he puesto y he quitado algún paréntesis sustituyéndolo por comas cuando me parecía que quedaba más natural. Por supuesto, es vuestro hilo, no el mío, así que sentíos libres de deshacer cualquier cambio que haya hecho.

2 respuestas
B

#15 es una de esas palabras que nunca he entendido por que se escriben asi. En catalan como en ingles, harmonic. En frances seguramente tambien vaya con hache... Es lo mismo que orquesta. En todos los idiomas que conozco es orquestRa, menos en español.

Respecto a las versiones, no creeis que seria mejor hacer las distintas cosas en posts separados? Si no, quedara un tochaco de proporciones biblicas en 1 y sera dificil de leer todo. A lo mejor podemos cambiar la version aunque el post este en otro lado, para tenerlo controlado (y referenciar desde el apartado "estructura del hilo"), que pensais? #16 #17

2 respuestas
hda

#18 #17

A mí me parece buena idea, de hecho creo que es lo mejor. Quizás en este post hacer una presentación, con dos trazas de lo que es y un gif; empero para aquellas ED en las que queramos meternos en materia, hilo separado. Podría ser algo así como 302 ELH , 303 oscilador harmónico, 304... (siempre y cuando dedicásemos un post a ésa en concreto).

#17 Bueno, como verás, yo tengo una manera de escribir un tanto peculiar. Vigilo mucho tanto la gramática como la ortografía y el estilo. Defieno el uso de ciertas palabras que si bien y normalmente, están aceptadas en la normativa, están en desuso. Como es el caso de harmónico (palabra que devine del latín harmonicus, por lo que el registro culto sería con h). En serio que soy bastante nazi con mi forma de escribir xD (eso no quita que pueda tener errores y erratas, como todos, o incluso faltas de ortografía puntuales).

2 respuestas
Mirtor

#18 Igual a la larga sí es mejor posts separados, todo en uno puede quedar un bollo considerable. Incluso a la hora de editar, que por mucho que se pongan spoilers y tal para que quede más bonito desde fuera eso te lo comes igualmente.

Siguiendo el off-topic, a mí la palabra que más rabia me da en ese aspecto es "arribar". En castellano es una palabra culta mientras que, tanto en inglés como en francés, "to arrive" y "arriver" son muy habituales. Esto hace que cada vez que la escribo en castellano, que no es mucho, acabo poniendo "arrivar", porque encima "arribar" me parece que queda hasta feo, tengo la misma sensación que si leyera por ejemplo "vuñuelo". Otra es "móvil/mobile", pero al ser común también en castellano no me parece tan fea.

#19 Vuelve a poner harmónico entonces, te comprendo perfectamente (ver mi párrafo anterior)

1 respuesta
hda

#20

1
Hipnos

Tengo que leerme esto en detalle, a ver si aprendo qué cojones es una ecuación diferencial. Que tiene huevos sacarse teleco y no conocer la esencia.

1 respuesta
B

#19 epa, me re fiero a otro post dentro de este hilo, no otro hilo! Tambien se podria hacer si entramos muy en detalle con una ecuacion, pero de momento no se si hara falta...

1
Mirtor

#22 Toma ya, el estudiante de mecánica de primer año (yo) entiende el concepto de ecuación diferencial y el teleco con todas las de la ley no, ¿qué me he perdido? jajajajaja

1 respuesta
Hipnos

#24 convolucióname ésta 8==D

1 respuesta
Eyvindur

¡Buen trabajo!

PD: Puta bida.

Mirtor

#25 Tu madre, por si acaso.

B

Favoritos.

Hispania84

Acabo de ver esto y la verdad es que me encanta la idea, a ver si me pongo y acabo de entenderlas. He de decir que si que he hecho algunas durante este curso pero nada que tenga que ver con Física, y para que mentir, lo he leído y algunas cosas me cuestan entenderlas ya que nunca acabaron de explicármelas, simplemente las hacía mecánicamente y au, shit happens.

Buen curro :)

B

es una pena que no tenga mucho tiempo xD, a mi este tema me gusta muchísimo y es uno de los fundamentos de la teoría de control!

Conceptos cómo estabilidad, convergencia, órbitas.. e ir más allá con el non-smooth análisis es algo con lo que vivo día a día xD. Así que más que explicar, si alguien tuviera dudas sobre estos temas, pues yo me ofrezco sin problemas a resolverlas si están dentro de mis posibilidades.

2

Usuarios habituales