Dudas simples de matemáticas

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Este es el hilo de dudas simples de matemáticas. Lo que se logra preguntando dudas complejas aquí es que otra gente con dudas más sencillas no las transmitan por pensar que pueden quedar en "evidencia" dada la "sencillez" de su pregunta; y nada más lejos de la realidad.

Para algo concreto más allá de lo simple, recomendamos crear un nuevo hilo. Intentemos fomentar que la gente que tenga dudas simples de matemáticas vengan a este hilo. Quienes tengan dudas simples de física a este otro. Y quienres deseen una explicación sencilla de algún fenómeno a este otro. Intentemos hacer de Ciencia un subforo accesible y donde todos sientan que pueden aportar.

n3krO #211 May '16 Diamond hands

#210 El objetivo es hacer una simulacion interactiva en la que puedo influenciar en el sistema en tiempo real.

Cuanto a las demas preguntas, estoy mas perdido ._. xdddd

No se cuantificar la stiffness de un sistema de EDOs (ni de una sola EDO jajaja).

Lo de los metodos implicitos, por mucho que lea no logro entender como se implementan para cualquier sistema de EDOs, es que ni siquiera para el metodo de Euler implicito se como se implementaria...

Yo haciendo el idiota con Euler explicito e implicito, perdon si esto ofende alguien

Y ya BDF no se lo que es

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[Borrado] #212 May '16

#211 Backward Differentiation Formulas creo que se llama, te puede interesar porque es relativamente sencillo! (aunque si el sistema es no lineal tienes problemas como con Euler)

Respecto a la stiffness, tu puedes ver tu sistema de EDOS como (y' = F(x,y)) . Puedes calcular la matriz jacobiana de esa F (solo con las derivadas respecto y1,y2,...,yn), y mirar si el ratio entre el valor propio mas grande y el mas pequeño es muy grande, entonces es un sistema muy rigido. Esto es obviamente a groso modo, hay libros y libros sobre stiff systems.

Respecto a Euler implicito, tienes razon que si el problema es no-lineal, tienes que resolver una ecuacion no lineal en cada paso. Y fastidia, pero vaya puedes usar un Newton y ya esta (claro que tendras que vigilar los tiempos).

Lo mas importante es que sepas donde tienes el problema: En la convergencia o en la estabilidad? Es decir, cuando dices que RK no te va bien es porque se va de madre o porque (O(h⁴)) no es suficiente?

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n3krO #213 May '16 Diamond hands

#212 Creo que es mas bien un problema de estabilidad con el RK4, con DOPRI5 aunque tambien hay problema de estabilidad en casos todavia mas extremos, me da tambien problemas de convergencia.

Ejemplos

Ahora mismo estoy calculando el DOPRI5 y DOPRI4 del sistema para t+1 dependiendo del estado actual y estoy guardando en el estado actual el resultado de DOPRI5 y ademas estoy guardando un vector de error aproximado que es la diferencia entre el resultado de DOPRI4 y DOPRI5.

Viendo este vector de error puedo ver que el mayor problema esta en la zona en la que cambio de una ecuacion de estado a otra, aunque una de las ecuaciones produce errores mayores que la otra.

Respecto a la matriz jacobiana, el sistema es no lineal porque dependiendo del estado actual se aplica una ecuacion de estado u otra.

Aun asi, los autovalores de una de las ecuaciones son (\lambda=\pm 1) y de la otra (\lambda=-5\pm i 99.875)

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[Borrado] #214 May '16

#213 o sea que hay una discontinuidad de salto en la ecuacion? O sea puedes escribir tu ecuacion como

( \mathbf{y}' = (A_1\mathbb{1}{S1}(\mathbf{y}) + A_2\mathbb{1}{S2}(\mathbf{y}))\mathbf{y} + f(x) )

Donde (\mathbb{1}_{S}(y)) es la identidad si (\mathbf{y}) esta en el estado (S) y 0 en caso contrario?

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n3krO #215 May '16 Diamond hands

#214 Efectivamente.

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[Borrado] #216 May '16

#215 humm interesante! Dejame darle un par de vueltas y te digo algo con mas fundamento, te urge mucho?

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n3krO #217 May '16 Diamond hands

#216 Para nada. Solo decir que aprendí mas sobre metodos numericos en estos ultimos 3 dias que en 90 horas presenciales repartido entre 2 asignaturas distintas, una dedicada a simulacion y otra a metodos numericos para PDOs (de primer orden, ecuacion de calor y ecuacion de ondas)...

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[Borrado] #218 May '16

#217 es que se enseñan fatal los métodos numéricos... Y es un campo que todavía es muy artístico, hay que tener mucha intuición y tratar con delicadeza los problemas porque todavía no entendemos cómo afectan todos los parámetros.

Mirtor #219 May '16 :psyduck:

Puf, yo tengo Métodos Numéricos el año que viene... Parece interesante, pero a la vez parece chunguísimo. Miedo xDDD

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[Borrado] #220 May '16

#219 mi recomendacion es que intentes hacer simulaciones y/o problemas, abri un hilo en dev por si alguien queria hacer metodos numericos conmigo pero no triunfo mucho xD, pero las cosas que se explican parecen irrelevantes hasta que quieres calcular algo y te das cuenta de que falla porque no has precondicionado bien la matriz, o no has escogido bien los puntos de cuadratura, o lo que sea xD.

n3krO #221 May '16 Diamond hands

#219 Al final tiene el problema que con todas las matematicas, que si no entiendes la notación te pierdes facilmente.

Al menos a mi me resulta imposible buscar informacion de lo que significa cierta notación....

Y en las carreras.... Al menos en Ingenieria todas las asignaturas se quedan cortas (bueno, con Algebra Lineal sali bastante contento)... Se aprende muy poco y aun asi la mayoria de los alumnos se quejan de que van demasiado rapido....

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[Borrado] #222 May '16

#221 y es que no hay una notacion bien estandarizada ni simplificada, es como si todavia tuvieramos que hacer calculo con epsilones y deltas. Por eso es tan bonito :qq: (perdon por el forochat pero es que metodos numericos me encanta xD).

n3krO #223 May '16 Diamond hands

Bueno, he hecho una primera implementacion del dopri45, estoy bastante contento con el resultado.

Con una tolerancia al error en cada paso del dopri45 de (10^{-4})(1) he conseguido el mismo resultado que simulando con un salto de tiempo 512(2) veces mas pequeño que el base en "apenas" 13(3) veces mas tiempo.

(1)

(2)

(3)

Voy a seguir optimizando la implementacion actual de mientras a ver si consigo rascar lo maximo posible, tambien voy a ir bajando la tolerancia a ver si me acerco mas y mas a la solucion del ode45 (que recordemos, es tambien un metodo numerico de Dormand-Prince 4-5), a ver si asi puedo comparar los tiempos de simulacion. Decir que el ode45 esta tardando 0.165 segundos, mas del doble que mi implementacion actual (aunque es mucho mas fiable).

@Duronman Aunque yo haya seguido, sigo interesado en todo lo que hayas encontrado y/o encuentres sobre el tema, es solo que queria hacer una demonstracion en clase este martes asi que voy avanzando con lo que puedo jajaja

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[Borrado] #224 May '16

#223 interesante en la grafica 3, como ves la frecuencia se desfasa, eso es otro tipo de error que hay que tener en cuenta en metodos numericos: Estabilidad, convergencia, consistencia!

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n3krO #225 May '16 Diamond hands

#224 En mi defensa diré que con un step size suficientemente pequeño, el ode45 tiende a estabilizarse antes que mi algoritmo.

O sea, que la solución del ode45 tampoco es del todo fiable (recordemos que estamos ante el mismo algoritmo pero con step sizes distintos).

Si fuera posible eliminar la perdida de información en la zona de discontinuidad sin recurrir a la fuerza bruta (step size mas pequeño), entonces si que estaria bien.

EDIT: He editado el post anterior debido a un error mio, el tiempo de simulacion de mi implementacion seria de 0.743 segundos (y no 0.074), asi que se tarda 13 veces mas tiempo y no 30% mas.

12 días después

Millonet1 #226 Jun '16 Inocente

¿Qué es un límite proyectivo?

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[Borrado] #227 Jun '16

#226 especifica un poco mas porque no se si te refieres a teoria de categorias o que jaja. Donde lo has visto?

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Millonet1 #228 Jun '16 Inocente

#227 He leido que Zp (los enteros p-ádicos) son el límite proyectivo de Z/p^nZ.
Por lo que veo es algo de categorías, pero no se nada de eso

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[Borrado] #229 Jun '16

#228 les encanta el lenguaje de categorias... Si te interesa, el libro de Awodey esta muy bien, tambien hay otro "Category theory for the working mathematician" que tambien esta muy bien... Pero hay que echarle muchas horas..

2 meses después

Ulmo #230 Ago '16 Moderador

Bueno, llevo días peleándome con una cosa y fruto de mi desesperación vengo a consultaros la duda, si alguien se siente mal ayudándome con mi trabajo ni hace falta que conteste. Tampoco hace falta que me hagais los deberes, con un par de ideas yo ya tiro del hilo y me las apaño.

Quizás me he explicado como el culo, aunque creo que para ser el hilo de matemáticas la pregunta es "simple".

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[Borrado] #231 Ago '16

#230 no entiendo muy bien, si ya tienes las probabilidades qué exactamente intentas estimar? Cómo puede ser que tengas \(M_{ij}\) sin normalizar si son probabilidades y por definicion sumaran 1 las filas? Que datos tienes? Que exactamente estas minimizando? Que es lo negro en esa grafica?

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Ulmo #232 Ago '16 Moderador

#231 Ya se que me expliqué como el culo.

Creo que con un ejemplo quedará más claro. Mi matriz representa lo siguiente:

Imaginemos que tenemos 3 monedas, y en cada una de las filas tenemos el resultado de tirar una de las 3 monedas "N" veces, pero no sabemos cual es.

Moneda_1: 0.5 cara / 0.5 cruz, Moneda_2: 0.6 cara / 0.4 cruz, Moneda_3: 0.4 cara / 0.6 cruz

Si en la fila 1 tenemos "3 caras en 6 lanzamientos", la probabilidad de generar eso con la moneda_1 es 0.3125, con la moneda_2 es 0.27648 y con la moneda_3 es 0.27648 . Esa es mi matriz, que puedo normalizarla.

Normalizado quedaría: 0.3610797 - 0.3194602 - 0.3194602

Por lo tanto si te tuvieras que mojar dirías que se ha usado la moneda_1.

Ahora viene mi problema. Resulta que ahora añado al problema otra condición, y digo que la moneda que se ha lanzado se ha elegido al azar entre un conjunto de monedas N que solo tiene monedas de los 3 tipos, pero no en las mismas proporciones. Esa relación es mi parámetro desconocido y lo que provoca el decalado entre lo observado (la linea en negro) y lo esperado (las lineas de colores sería como se comporta cada 1 de las 3 monedas).

Si te digo que hay 100 monedas tipo 2 y solo 1 de tipo 1, posiblemente ahora no elegirías la de tipo_1 como la más probable para dicha observación.

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[Borrado] #233 Ago '16

#232 bear with me porque esto sera una butifarra de mis pensamientos xD.
Vale, o sea tienes 3 variables aleatorias con distribuciones \(X_1,X_2,X_3\) (conocidas?), y tienes una variable aleatoria \(I\) que es una cadena de \(\{1,2,3\}\) (por ejemplo \(\{1,1,2,3,1,1,1,2,2,1,\dots,1\}\) con probabilidades desconocidas. Muestreas \(X_I\) y quieres estimar \(\hat{I}\).

Veamos, si a tu variable aleatoria (muestreada) le llamas \(Y\), tu sabes su densidad de probabilidad \(f_Y(y)\) (o la puedes estimar de manera empirica, seria tu linea negra). Ademas sabes su distribucion de probabilidad \(f_Y(y|I=1,2,3)\). Y quieres encontrar: \(f_I(i|Y=y)\) y \(f_I(i)\) (es decir la probabilidad de que sea 1,2,3 sabiendo y, y las proporciones totales de cada). Usamos Bayes: \(P(I=i|Y=y) = \frac{f_Y(y|I=i)P(I=i)}{f_Y(y)}\). Y no puedo seguir que me voy jaja, pero voy a darle vueltas y te dire lo que se me ocurra.

Edit corto: Quizas se pueda usar algo tipo iterativo con a prioris bayesianos y tal, partes de una distribucion uniforme en I, y vas corrigiendo

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DarkRaptor #234 Ago '16 MPs o Ban, tic tac

#233
Duronman lo de decir que te tienes que ir como excusa para dejar una demostración a medias ya no cuela. Fermat solo puede haber uno xDD

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[Borrado] #235 Ago '16

#234 maldicion!

#232 oye, ya se que seguramente ya lo has resuelto pero da la casualidad de que estoy trabajando en algo similar. Mirate "Multilevel Latent Class Models" a ver si te sirven de algo.

Esto esta bastante bien: https://www.statisticalinnovations.com/wp-content/uploads/Vermunt2003.pdf

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Ulmo #236 Ago '16 Moderador

#235 He llegado a una conclusión que puedo funcionar:

Tiro el modelo considerando una distribución poblacional igual para las 3 monedas: 1/3, 1/3, 1/3. Basado en ello asigno a cada una de mis filas qué moneda a sido lanzado.
Esto me dará como resultado que N filas se ha usado la moneda 1, M filas la moneda 2 y Filas - N - M la moneda 3.
Vuelvo a realizar la estimación pero ahora con distribución poblacional N/total, M/total , (total - N - M) / total.
Así cada nueva estimación seguirá sin ser la real del sistema pero poco a poco creo que tiende a ajustarse la estima, hasta que llegue un momento que los parámetros que obtenga sean los mismo que los que he usado en la iteración anterior y por lo tanto sean la distribuación poblacional real.

La única vulnerabilidad que le veo es si me salgo por alguna de las esquina, digase distribucion 0 , 0, 100% en cuyo caso se acabó el iterar y a la mierda el sistema

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[Borrado] #237 Ago '16

#236 si eso es lo que queria decir en mi post anterior con algo iterativo con a prioris bayesianos. No sabria demostrar que converge de ninguna manera, pero si te funciona tiene sentido la verdad.

8 días después

RsTTa #238 Ago '16

Buenas a todos,
llevo días con una duda que puede ser bastante tonta. ¿Se conoce algún tipo de patrón/regla que sigan las potencias de los diferentes números? Mas en concreto me interesan los numeros al cuadrado.

Me explico hace unos días jugando a un juego de cáculo (xD') me parecio encontrar un patrón o regla, si es que se puede llamar así, para calcular el cuadrado de un número de forma mas rápida (mentalmente). Me intento explicar: sabiendo la potencia de numeros sencillos como puede ser 20² podemos calcular 18² o 28^2...

Bueno posiblmente sea una tontería pero tengo curiosidad.
Un saludo.

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[Borrado] #239 Ago '16

#238 hay tecnicas para calcular el cuadrado mas rapidamente usando propiedades del producto o de los factores primos del numero.

por ejemplo \(18² = 20² + 2² - 80\). No se si es lo que has pensado tu.

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RsTTa #240 Ago '16

#239
yo lo pense de esta forma:
18²⁼²⁰2-18x2-20x2

Que con los casos que la he probado siempre funciona...

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