La teoría de la probabilidad y sus descontentos

Hace poco rendi probabilidad del secundario, los espacios muestrales y todo eso. Te acompañaria en tu cruzada porque odio las matematicas, pero a menos que sea asesinar matematicos de otra forma no puedo ayudarte.

Me pasa que al leer letras, numeros, simbolos y formulas mi cerebro deja de funcionar U_U

No lw veo sentido a la segunda crítica. P(A) y P(B) son desconocidas. Eso de principio de indiferencia suena a que le pones la probabilidad que te sale de los cojones.

#7n3krO:

en que caso tendrias que aplicar probabilidad discreta a un espacio muestral infinito?

Tratandose de algo numerable, dónde está el problema?

#7n3krO:

Ademas, si defines la probabilidad de algo como 1/inf y lo multiplicas por un infinito igual que el infinito que esta en el denominador de la probabilidad, el resultado es 1. Esto pasa a menudo en calculo con los limites.

Sigues teniendo el problema de que p(x = c) -> 0, por lo que la suma de las p(x = c) tendera a 0 necesariamente, no?

No puedes tener una serie de elementos tales que, siendo no negativos, tienden a 0 y a la vez su suma tienda a 1, por lo que cualquier valor para p(x = c) pone en entredicho K1 o K2

#7n3krO:

Para la segunda critica, ahi entra la inferencia bayesiana

La inferencia bayesiana sigue sin modelar exactamente incertidumbre, que es a lo que se refiere la segunda critica usando la palabra ignorancia, no?

#11 por qué exactamente? siendo una distribución de probabilidad discreta K1 y K2 siguen siendo ciertos, como sigue siendo cierto que sumar infinitas veces un mismo real entre 0 y 1
a) da 0 si tal real es 0
b) diverge caso de no ser a)

Lo que no se es si eso más bien significa que tal lotería no puede construirse más que invalidar los axiomas en sí, no?

#15 No entiendo tu planteamiento.

La lotería que propone #1 viene a proponer crear una distribución de probabilidad sobre algo infinito y numerable tal que

1) p(x = a) = p(x = b) para cualquier a,b en Ω**2
2) 0 <= p(x = a) <= 1
3) sum p(x = c) = 1

El problema es que tus opciones son dos

Si p(x = c) = 0 para todo c en Ω entonces sum p(x = c) sera obviamente 0, lo que contradice 3

Si p(x = c) = d > 0 entonces sum p(x = c) diverge, ya que para cualquier real r existe un N tal que sum 1..N d > r, que es una definición más de divergencia. Y al tratarse de una lotería infinita cualquier N es válido.

La respuesta obvia de ser una lotería finita seria p(x = c) = 1 / N, con N número de tickets, pero al no existir tal N que lo acote no puedes definir tal respuesta.

Plantear usar 1 / inf tiene el problema de que 1 / inf -> 0, y por suma de límites sabemos entonces que tal suma tenderá a 0, por lo que seguiríamos en las mismas.

Por lo cual diría que se prueba que tal lotería no puede existir usando esos dos axiomas. Hablamos de una lotería en la que los billetes son numerables y hablamos en todo momento de la probabilidad de un billete en concreto.

#7 los infinitesimales, efectivamente, fueron propuestos. En este caso, el problema de la teoria de la probabilidad ya no estaria en sus axiomas, sino en la asuncion de que las probabilidades son numeros reales. Hay quien dice que en lugar de R deberiamos ir a Q (ir de mas a menos), y hay quien dijo que hay que usar los hiperreales (infinitesimales), como por ejemplo Robinson https://en.wikipedia.org/wiki/Nonstandard_analysis . La solucion de los infinitesimales es elegante, no te voy a enganyar, porque resuelve varios problemas de un tiro. Pero no es una solucion. Cuando un billete de la loteria de de Finetti decimos que tiene una probabilidad infinitesimal de salir... a que infinitesimal nos estamos refiriendo? No podemos responder a esa pregunta xd si quieres objeciones a tu propuesta: https://www.jstor.org/stable/25597802 https://joelvelasco.net/teaching/3865/hajekwhatcpcouldntbe.pdf seccion 5

#9hda:

¿Puedes dar un ejemplo de un sistema real con infinitos números?

Lo cierto es que ahora mismo no, pero la asignacion de probabilidades infinitesimales si que se da naturalmente. Esto seria un problema si las matematicas estuviesen sujetas a la evidencia empirica. Respuesta: https://blogs.kent.ac.uk/jonw/files/2015/04/countable_add1999.pdf Independientemente de la existencia o no de una loteria real con infinitos numeros, un agente racional debe poder asignar la misma probabilidad a cada numero.

#9hda:

¿Tienes algún enlace sobre la segunda crítica?

https://plato.stanford.edu/entries/imprecise-probabilities/#SusJud toda la seccion 2.4 y sus referencias

#12sergioRG:

La inferencia bayesiana sigue sin modelar exactamente incertidumbre, que es a lo que se refiere la segunda critica usando la palabra ignorancia, no?

Es correcto lo que dices. La inferencia Bayesiana require de un prior preciso. Ademas que la inferencia Bayesiana comparte los mismos problemas que tiene la probabilidad condicional de Kolmogorov, que son bastantes y gordos.

#8Hipnos:

Eso de principio de indiferencia suena a que le pones la probabilidad que te sale de los cojones.

https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_indifference No es la que te salga de los cojones. En ausencia de evidencia, un agente racional debe distribuir la probabilidad uniformemente para todos los eventos.

Gracias por el hilo, @c0b4c .

Sinceramente, soy del gremio y no te sigo en las objeciones.

------- Primera objeción ---------

Esto no es ningún problema lógico. En las σ-álgebras existe el concepto de conjuntos de medida nula. Esto es, A en F es de medida nula si P(A)=0. Fíjate A no debe de ser vacío. De hecho, el tercer axioma se escribe así por prurito de simplicidad, en realidad esa igualdad se da siempre que P(A∩B)=0 . El estudio de las sigma álgebras se llama teoría de la medida, quizás te interese echarle un ojo.

En otras palabras, tu objeción 1) no es mayor objeción que la aporía de Zenón de Elea a Aquiles y la tortuga. Los griegos y la intuición general de cualquier persona tienen problemas con conceptos infinitos como límite, sumas infinitas o integrales. Eso, sin embargo, no es ningún problema para que el concepto de límite sea totalmente lógico y coherente, como también lo es el de σ-álgebra y medida nula.

Por ejemplo, en tu caso imagina la loteriía con tantas papeletas como números reales entre 0 y 1. Yo defino la σ-álgebra habitual, la de los conjuntos medibles y la P dad por la integral de la función constante 1 (A en (0,1) tiene como P(A)=\int _A 1 ). Ese caso cumple todo lo que dices, tu objeción no es a la probabilidad, es también a la integral. Porque en realidad tu objeción es al concepto de infinito.

--------- Segunda objeción --------

Aquí sí que no te sigo. La P no tiene por qué ser conocida, puede ser una incógnita. P es una función medible definida en (Ω,F), no hay que decir nada más. Es decir, P no tiene por qué estar más definida que cuando decimos "Sea f una función real" o "sea n un número natural" o "sea z un número complejo" ¿Acaso sabes algo del valor f(1)? ¿Puedes decirme si n>3? ¿sabes si |z|=1? No, no puedes decir nada de ellos, salvo que f(1) es un valor real, n es un natural y |z| es un valor real positivo. De igual forma, tú puedes decir "Sea P una función de probabilidad definda en (Ω,F)", no has especificado nada de P(A), salvo que está entre 0 y 1. De hecho, si abres un libro de teoría de la medida o de probabilidad estará plagado de teoremas en los que se habla de una P de la cual no se ha dicho absolutamente nada, salvo que es una función de probabilidad.

(cómo haces para escribir la σ sigma o la Ω omega? yo solo he podido copiar tu símbolo)

#25 Nada, que @c0b4c tiene dudas filosóficas

La primera objecion no es nada de probabilidad. @c0b4c se está peleando con Aquiles y la tortuga. Es una vieja observación del filósofo Zenón que, esencialmente, dice que no podemos entender el mundo sin la (sorprendente) idea de infinito. Zenón expuso que si quieres entender cómo un hombre (Aquiles) adelanta a una tortuga ya te aparece el infinito.

En la segunda objeción no sé a qué se refiere. Me parece que debe de ser alguna otra cuestión filosófica, porque enlaza a artículos de corte filosófico pero, a diferencia de la primera, me parece que quizás no lo ha expuesto como debe.

#1c0b4c:

me parece lo suficientemente sencilla como para que cualquier persona la pueda entender, así que allá voy.

Los axiomas de Kolmogorov son los siguientes. Sea (Ω,F,P) un espacio de probabilidad, donde Ω es un espacio muestral, F una σ-álgebra de Ω, y P una función de probabilidad:

Me he descojonado con esto jajajajaja. Que estoy de acuerdo, no es algo súper complicado, pero tal y como lo has redactado parecía un chiste

Yo la verdad es que no veo los problemas. La primera crítica es la típica consecuencia de meter el infinito donde no le llaman. Tienes miles de ejemplos en todos los campos. Aunque fuera cierto, que leyendo un poco por encima lo que comenta @n3krO no tengo claro que lo sea, en todo caso lo veo como una prueba por contradicción de que no puedes aplicar esos principios tal cual cuando está el infinito en juego, pero no me dice nada sobre la validez de los axiomas mientras tratemos con elementos finitos.

A la segunda tampoco le veo mucho recorrido. El principio de indiferencia no es un axioma universal, si lo has utilizado para asignar las probabilidades para tus cálculos es tu problema tenerlo controlado y saber que has hecho unas suposiciones que pueden o no ser ciertas y razonables, y que habrá que comprobar. Nadie está diciendo que si no conozco la probabilidad que tienen varios sucesos tengo que asignarle sí o sí la misma probabilidad a todos y quedarme tan ancho. Como comenta #24 puede ser hasta precisamente la incógnita que quieras hallar.

#27 Es conveniente ser algo más preciso para que te puedas aclarar.

#27c0b4c:

Los axiomas de Kolmogorov esquivan, a priori, la existencia de una loteria contable infinita justa.

No, no es cierto esto. Los axiomas de Kolmogorov son perfectamente compatibles con loterías infinitas justas (de la cual, por cierto, no hemos dado definición ¿El conjunto F de cardinal infinito?).

Te he dado un ejemplo de lotería infinita justa (la lotería con boletos indexados por los números reales entre 0 y 1) y aquí te va otro por si quieres ponerle precio a los boletos: Lotería con boletos indexados los números naturales, el precio del boleto n es 1/(n)² * (6/ π²) y su probabilidad de éxito es 1/(n)² * (6/ π²) . Lotería perfectamente justa, con número infinto de boletos, y esta vez con precio distinto de cero.

#27c0b4c:

Mi objecion es con la incapacidad de los axiomas de Kolmogorov de ser consistentes cuando aparece el concepto de infinito.

No es cierto.

Lo axiomas de Kolmogorov son consistentes. Para probar lo contrario debes hallar una contradicción, y para ello es equivalente probar que 1=0. ¿Demostración de esto?

Otra cosa es que no te gusten los espacios de probabilidad que salen, como tampoco le gustaba a Zenón lo que ocurriía con la tortuga, pero los axiomas son consistentes. Como también es consistente la integral y la suma de series, por mucho que le pesase a Zenón.

Hay que ser preciso: los axiomas son consistentes. No te gustan, vale, tampoco los espacios que salen, ok, pero ese es otro tema.

#27c0b4c:

En ningun momento la critica se posa sobre el concepto de limite.

Como tampoco lo hace la aporía de Aquiles y la tortuga. Sin embargo ambas, la tuya y la de Zenón, se fundan en el concepto de límite. Entre otras cosas porque puedo copiar tu argumento, mutatis mutandis, y decir que la integral de Riemann es "injusta" porque la integral de la función constante uno sobre un número es cero (y sobre cualquier colección infinta numerable es cero) pero sobre el intervalo (0,1) la integral es uno. ¿Es tu crítica a la integral de Riemann? No, es al límite, porque la integral se define como un límite. Y tu crítica es a una suma infinita que, por definición, es un límite.

Es más, te diría que tu crítica es a todo aquello que sea infinito. Porque ¿qué es el infinito "numerable"? el límite más sencillo de todos. Allá donde haya un infinito, o un límite, reproducirás tu argumento mutatis mutandis.

En tu segunda objeción no sé de qué hablas, de verdad. No lo digo por ser seco o cortante, pero no voy a leer ni una enciclopedia ni un artículo porque es algo que he aprendido por experiencia como matemático: si el que pregunta no es capaz de expresarme su duda ya tiene deberes, expresarla. Repito: la P puede ser una incógnita en la axiomática de Kolmogorov (como en cualqueir otra parte de las matemáticas), no sé a qué te refieres.